La Línea de la Vida

Hoy traigo un post técnico con una clara finalidad práctica, el cálculo del peralte de una curva.

La fuerza centrífuga (Fc) es la causante de accidentes e incomodidades, ya que tira de todo hacia fuera de la curva.

Una forma de compensar ésta fuerza tan molesta es emplear parte del peso del objeto para contrarrestarla, por medio de un plano inclinado (pendiente).

A la diferencia de altura (h) entre el borde exterior de la curva y el borde interior se le llama peralte.

Para deducir una expresión que permita calcular el peralte de forma sencilla, vamos a suponer un objeto que se desplaza por una curva circular con una velocidad V, sobre una plataforma con inclinación respecto a la horizontal.

Antes de nada debemos fijar un sistema de coordenadas, unos ejes que nos indicaran el sentido positivo de X e Y. De otro modo, el cálculo se complicaría enormemente (flechas grises).

A partir de ahora a las flechas las llamaré vectores.

A continuación dibujamos las fuerzas que actúan sobre el cuerpo. En este caso, el peso y la fuerza centrífuga (flechas negras). La fuerza centrípeta no la dibujamos, por que queremos que sea parte del peso.

Descomponemos los vectores en sus componentes X e Y, paralelas a los ejes que hemos dibujado, y añadimos la fuerza normal, opuesta al componente Py del peso. Esta fuerza es la que hace el suelo sobre el objeto, impidiendo que se hunda.

Una vez que todos los vectores están dibujados, analizamos la dinámica de cada eje de acuerdo con la Segunda Ley de Newton:

m es la masa del objeto y a es la aceleración en el eje.

Eje Y:

La aceleración en el eje Y es 0, por que el objeto ni se hunde ni despega.
No nos debemos preocupar más por el eje Y, ya que el suelo se encargará de hacer la fuerza que le corresponda.

Eje X:

En el eje X pretendemos compensar la fuerza centrífuga con una parte del peso, por tanto, se debe considerar que el objeto no tendrá ninguna aceleración en el eje X. Si despejamos la ecuación anterior nos queda:

Sustituimos cada parte por lo que realmente son esas fuerzas,

La masa está multiplicando a ambos lados de la ecuación, por lo tanto se va dividiendo todo por m. En consecuencia, el peralte es válido para todos los vehículos, ya que no influye la masa en su funcionamiento.

Despejamos el seno y el coseno a la izquierda de la ecuación,

Como normalmente, y muy especialmente en ferrocarriles, los ángulos de peralte son pequeños (menos de 20º), podemos afirmar que,

Así nos queda la ecuación de esta forma:

El seno, por definición es cateto opuesto entre la hipotenusa. En este caso, el cateto opuesto es la altura del peralte (h), y la hipotenusa la longitud de la traviesa (L). Empleamos la longitud de la traviesa ya que es ésta la que apoya en el terreno y la que constituye la hipotenusa. El plano de rodadura conservará el ángulo phi.

Sustituimos en la expresión anterior y despejamos h,

Multiplicamos por los factores de conversión adecuados, de lo contrario estaríamos obligados a trabajar con m/s y metros,

Por último operamos, simplificamos, y obtenemos la Ecuación del peralte (se considera g=9,81 m·s^(-2)):

Un saludo!

Hoy, mientras le quitaba a mi coche todo el polvo que ha acumulado por circular (“despacio”) por caminos de tierra, me he he preguntado: ¿Cuantas vueltas habrán dado las ruedas cuando las cambie?

Pues bien, he llegado a mi casa y lo he planteado en una hoja:

Si las ruedas nuevas tienen un diámetro de 615 mm, y en su desgaste pueden perder hasta 12 mm, tomamos el valor medio de ambos para no complicar el cálculo con derivadas:

Y como casi todo el mundo sabe, la longitud exterior de una circunferencia es:

Por tanto, en cada vuelta de rueda el coche recorre

Y si la duración media de un neumático es de unos 40.000 kms, las vueltas que dará la rueda es la división entre los kilómetros que recorren los neumáticos antes de cambiarlos y la distancia que recorre el coche en cada vuelta:

Casi 21 millones de vueltas a lo largo de su vida útil. No me imaginaba que fuesen tantas.

Esta cifra es válida para este tamaño de rueda (185/65 R14), ¡si es más pequeña dará aún más vueltas!

Salute!

[EDITADO: Si no fuese por un capullo en furgón estos cálculos serían válidos, pero he tenido que cambiarlos muchos antes (20.000 kms antes) por que los deformé de un frenazo en la autovía (Ver Post: Luego el que conduce mal soy yo...)]